Question

3．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，点P从点A出发，沿折线AB-BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒$\frac{4}{3}$个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）
（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；
（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理先求出AC，根据AQ=AC-CQ即可解决问题；
（2）分两种情形列出方程求解即可；
（3）①分三种情形a、如图1中，当0≤t≤$\frac{3}{2}$时，重叠部分是四边形PEQF．b、如图2中，当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．C、如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ．分别求解即可；
②分两种情形a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．分别列出方程即可解决问题；

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵CQ=$\frac{4}{3}$t，
∴AQ=8-$\frac{4}{3}$t（0≤t≤4）．

（2）①当PQ∥BC时，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{5t}{10}$=$\frac{8-\frac{4}{3}t}{8}$，
∴t=$\frac{3}{2}$s．
②当PQ∥AB时，$\frac{CQ}{CA}$=$\frac{CP}{CB}$，
∴$\frac{\frac{4}{3}t}{8}$=$\frac{6-3（t-2）}{6}$，
∴t=3，
综上所述，t=$\frac{3}{2}$s或3s时，当PQ与△ABC的一边平行．

（3）①如图1中，a、当0≤t≤$\frac{3}{2}$时，重叠部分是四边形PEQF．

S=PE•EQ=3t•（8-4t-$\frac{4}{3}$t）=-16t²+24t．
b、如图2中，当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，重叠部分是四边形PNQE．

S=S_{四边形PEQF}-S_△PFN=（16t²-24t）-$\frac{1}{2}$•$\frac{4}{5}$[5t-$\frac{5}{4}$（8-$\frac{4}{3}$t）]•$\frac{3}{5}$[5t-$\frac{5}{4}$（8-$\frac{4}{3}$t0]=-$\frac{16}{3}{t}^{2}+40t-48$．
C、如图3中，当2＜t≤3时，重叠部分是五边形MNPBQ．

S=S_{四边形PBQF}-S_△FNM=$\frac{4}{3}$t•[6-3（t-2）]-$\frac{1}{2}$•[$\frac{4}{3}$t-4（t-2）]•$\frac{3}{4}$[$\frac{4}{3}$t-4（t-2）]=-$\frac{20}{3}$t²+30t-24．

②a、如图4中，当DE：DQ=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．

则有（4-4t）：（4-$\frac{4}{3}$t）=1：2，解得t=$\frac{3}{5}$s，
b、如图5中，当NE：PN=1：2时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．

∴DE：DQ=NE：FQ=1：3，
∴（4t-4）：（4-$\frac{4}{3}$t）=1：3，
解得t=$\frac{6}{5}$s，
综上所述，当t=$\frac{3}{5}$s或$\frac{6}{5}$s时，DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．