Question

已知关于x的一元二次方程：x²-2（m+1）x+m²+5=0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果原方程的两个实数根为x₁、x₂，且满足（x₁-x₂）²=|x₁|+|x₂|，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有两个不相等的实数根，得出△＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=m²+5≥0，即两个根同号，再分两种情况讨论，当x₁≥0，x₂≥0和当x₁≤0，x₂≤0时，得到一个方程，求出m的值即可．

解答：解：（1）∵x²-2（m+1）x+m²+5=0有两个不相等的实数根，
∴△=[-2（m+1）]²-4×1×（m²+5）＞0，
∴m＞2；

（2）根据题意得：x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=m²+5≥0，
∵（x₁-x₂）²=|x₁|+|x₂|，
∴当x₁≥0，x₂≥0，（x₁-x₂）²=x₁+x₂，则（x₁+x₂）²-4x₁x₂=x₁+x₂，4（m-1）²-4（m²+5）=2（m-1），
解得m=-

7

5

；
当x₁≤0，x₂≤0，（x₁-x₂）²=-（x₁+x₂），则（x₁+x₂）²-4x₁x₂=-（x₁+x₂），4（m-1）²-4（m²+5）=-2（m-1），
解得m=-3；
则m的值为-

7

5

或-3．

点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．