题目内容

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．
（1）当α=
30
30
度时，四边形EDBC是等腰梯形； 当α=
60
60
度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为
3
2
3
2
；
（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
分析：（1）根据旋转的性质和等腰梯形的性质，由CE∥AB，可得当∠EDB=∠B=60°时，四边形EDBC是等腰梯形时，则可求得α的度数；由CE∥AB，∠B=60°，可得当∠EDB=90°时，四边形EDBC是直角梯形，则可求得α的度数，然后利用含30°角的直角三角形的性质与勾股定理求得AD的长．
（2）根据∠α=∠ACB=90°先证明四边形EDBC是平行四边形．再利用Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2求得AB，AC，AO的长度；在Rt△AOD中，∠A=30°，AD=2，可求BD，比较得BD=BC，可证明四边形EDBC是菱形．
解答：解：（1）∵CE∥AB，
∴当∠EDB=∠B=60°时，四边形EDBC是等腰梯形时，
∵∠A=30°，
∴α=∠EDB-∠A=30°，
即当α=30°时，四边形EDBC是等腰梯形；
∵CE∥AB，∠B=60°，
∴当∠EDB=90°时，四边形EDBC是直角梯形，
∵∠A=30°，
∴α=∠EDB-∠A=90°-30°=60°，
∴当α=60°时，四边形EDBC是直角梯形；
在Rt△ABC中，BC=2，∠A=30°，
∴AB=2BC=4，
∴AC=
AB2-BC2
=2
3
，
∵O是中点，
∴AO=
3
，
在Rt△AOD中，OD=
1
2
AO=
3
2
，
∴AD=
AO2-OD2
=
3
2
．
故答案为：30，60，
3
2
；

（2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形．
∵∠α=∠ACB=90°，
∴BC∥ED，
∵CE∥AB，
∴四边形EDBC是平行四边形．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，
∴AB=4，AC=2
3
，
∴AO=
1
2
AC=
3
．
在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=
1
2
AD，
AD=
OA2+OD2
=
(
3
)2+(
1
2
AD)2
，
∴AD=2，
∴BD=2，
∴BD=BC．
又∵四边形EDBC是平行四边形，
∴四边形EDBC是菱形．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、直角梯形的性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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3
5
，则cos∠CBD的值是（　　）
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5
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（t-2）
（t-2）
cm，（用含t的代数式表示）．
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（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．

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