Question

已知：如图，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，连结PB、PO，PO∥BC，
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求tan∠BCA的值．

Answer 1

（1）证明：连接OB，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC．
∵PO∥BC，
∴∠C=∠AOP，∠BOP=∠OBC，
∴∠AOP=∠BOP
∵OP=OP，
∴△AOP≌△BOP．
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB是⊙O的切线．
（2）解：延长AC交PB的延长线于点D，
∵PO∥BC，
∴△PDO∽△BDC．

∴．
∴DC=2CO．
设CO=r，则DO=3r，连结BO，
在Rt△BDO中，．
又∵△BDO∽△ADP，
∴．
∴．
∴．
分析：（1）连接OB．证OB⊥PB即可．通过证明△AOP≌△BOP得证．
（2）延长AC交PB的延长线于点D，利用△PDO∽△BDC得到DC=2CO．设CO=r，则DO=3r，连结BO，利用△BDO∽△ADP，求得PA的长，从而求解结论．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及切线的判定，特别是第（2）题，难度较大．