Question

（本小题满分8分）在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连结EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EG⊥CG.

（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和

位置关系？请直接写出你的猜想.

（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系

和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.

 

Answer 1

【答案】

 

解（1）EG=CG   EG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)

  （2）EG=CG   EG⊥CG------------------------------------------------------------(2分)

证明：延长FE交DC延长线于M，连MG

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°

∴四边形BEMC是矩形.

∴BE=CM，∠EMC=90°

又∵BE=EF

∴EF=CM

∵∠EMC=90°，FG=DG

∴MG=FD=FG

∵BC=EM ，BC=CD

∴EM=CD

∵EF=CM

∴FM=DM

∴∠F=45°

又FG=DG

∵∠CMG=∠EMC=45°

∴∠F=∠GMC

∴△GFE≌△GMC

∴EG=CG ，∠FGE=∠MGC------------------------------------------------------------------------(2分)

∵∠FMC=90°，MF=MD， FG=DG

∴MG⊥FD

∴∠FGE+∠EGM=90°

∴∠MGC+∠EGM=90°

即∠EGC=90°

∴EG⊥CG------------------------------------------------------------------------------------------- (2分)

【解析】略