Question

【题目】已知四边形为菱形，，，的两边分别与射线、相交于点、，且.

（1）如图1，当点是线段的中点时，请直接写出线段与之间的数量关系；

（2）如图2，当点是线段上的任意一点（点不与点、重合）时，求证：；

（3）如图3，当点在线段的延长线上，且时，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）连接AC，先证△ABC是等边三角形，再由题意得出AE⊥BC，∠B=60°求解可得；
（2）证△BAE≌△CAF即可得；
（3）作AG⊥BC，由∠EAB=15°，∠ABC=60°知∠AEB=45°，根据AG=2得EG=AG=2，EB=EG-BG=2-2，再证△AEB≌△AFC知EB=FC，由FD=FC+CD=EB+CD可得答案．

解：（1）如图1，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC中点，
∴AE⊥BC，BE=BC=AB
在Rt△ABE中，AE=BEtanB=BE；

（2）证明：连接，如图2中，

∵四边形是菱形，，

∴与都是等边三角形，

∴，.

∵，

∴，

在和中，

，

∴.

∴.

（3）解：连接，过点作于点，如图3所示，

∵，，

∴.

在中，

∵，，

∴，

∴.

在中，

∵，，

∴，

∴.

由（2）得，，

则，

∵，

∴，

可得，

∴，

∴.