Question

【题目】探究：如图1，在△ABC中，AB=AC，CF为AB边上的高，点P为BC边上任意一点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E．求证：PD+PE=CF．

嘉嘉的证明思路：连结AP，借助△ABP与△ACP的面积和等于△ABC的面积来证明结论．

淇淇的证明思路：过点P作PG⊥CF于G，可证得PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．

迁移：请参考嘉嘉或淇淇的证明思路，完成下面的问题：

（1）如图2．当点P在BC延长线上时，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由；

（2）当点P在CB延长线上时，其余条件不变，请直接写出线段PD，PE和CF之间的数量关系．

运用：如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B处，点C落在点C′处．若点P为折痕EF上任一点，PG⊥BE于G，PH⊥BC于H，若AD=18，CF=5，直接写出PG+PH的值．

Answer 1

【答案】（1）不成立，CF=PD-PE，理由见解析；（2）CF=PE-PD理由见解析；运用：PG+PH的值为12．

【解析】

（1）由三角形的面积和差关系可求解；

（2）由三角形的面积和差关系可求解；

（3）易证BE=BF，过点E作EQ⊥BF，垂足为Q，利用探究中的结论可得PG+PH=EQ，易证EQ=AB，BF=BE=DE=13，只需求出AB即可．

解：（1）不成立，CF=PD-PE

理由如下：

连接AP，如图，

∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，

且S△ABC=S△ABP-S△ACP，

∴ABCF=ABPD-ACPE．

∵AB=AC，

∴CF=PD-PE．

（2）CF=PE-PD

理由如下：

如图，

∵S△ABC=S△ACP-S△ABP，

∴ABCF=ACPE-ABPD

∵AB=AC

∴CF=PE-PD

运用：过点E作EQ⊥BC，垂足为Q，如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠A=∠ABC=90°．

∵AD=18，CF=5，

∴BF=BC-CF=AD-CF=13．

由折叠可得：DE=BB，∠BEF=∠DEF．

∵AD∥BC

∴∠DEF=∠EFB

∴∠BEF=∠BFE

∴BE=BF=13=DE

∴AE=5

∵∠A=90°，

∴AB==12

∵EQ⊥BC，∠A=∠ABC=90°．

∴∠EQC=90°=∠A=∠ABC

∴四边形EQBA是矩形．

∴EQ=AB=12．

由探究的结论可得：PG+PH=EQ．

∴PG+PH=12．

∴PG+PH的值为12．

故答案为：（1）不成立，CF=PD-PE，理由见解析；（2）CF=PE-PD理由见解析；运用：PG+PH的值为12．