Question

【题目】某竹制品加工厂根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型竹制品玩具未来两年的销售进行预测，并建立如下模型：设第t个月，竹制品销售量为P（单位：箱），P与t之间存在如图所示函数关系，其图象是线段AB（不含点A）和线段BC的组合．设第t个月销售每箱的毛利润为Q（百元），且Q与t满足如下关系Q=2t+8（0≤t≤24）．

（1）求P与t的函数关系式（6≤t≤24）．

（2）该厂在第几个月能够获得最大毛利润？最大毛利润是多少？

（3）经调查发现，当月毛利润不低于40000且不高于43200元时，该月产品原材料供给和市场售最和谐，此时称这个月为“和谐月”，那么，在未来两年中第几个月为和谐月？

Answer 1

【答案】（1）P＝﹣t+26（6≤t≤24）；（2）该厂在第11个月能够获得最大毛利润，最大毛利润是45000元；（3）未来两年中的和谐月有：6，7，8，14，15，16这六个月．

【解析】

（1）当6≤t≤24时，设P与t的函数关系式为P=kt+b，把点B（6，20）和C（24，2）代入求出k和b，即可得解；

（2）设直线AB的函数解析式为P=mt+n，将A（0，14），B （6，20）代入求出m和n，分0＜t＜6和6≤t≤24来讨论求解；

（3）分0＜t＜6和6≤t≤24，结合（2）中求得的毛利润函数，列不等式组可解．

（1）当6≤t≤24时，设P与t的函数关系式为P=kt+b．

∵该图象过点B（6，20）和C（24，2），

∴，

∴，

∴P与t的函数关系式为P=﹣t+26（6≤t≤24）．

（2）设直线AB的函数解析式为P=mt+n，将A（0，14），B （6，20）代入得：

，

∴，

∴直线AB的函数解析式为P=t+14，

∴当0＜t＜6时，利润L=QP=（2t+8）（t+14）=2t2+36t+112=2（t+9）2﹣50．

当t=5时，利润L取最大值为2（5+9）2﹣50=342（百元）=34200（元）；

当6≤t≤24时，利润L=QP=（2t+8）（﹣t+26）=﹣2t2+44t+208=﹣2（t﹣11）2+450．

450百元=45000元，

∴当t=11时，利润L有最大值，最大值为45000元．

综上所述：该厂在第11个月能够获得最大毛利润，最大毛利润是45000元．

（3）∵40000元=400百元，43200元=432百元，

∴或

第一个不等式无解，第二个不等式的解为6≤t≤8或14≤t≤16，

∴未来两年中的和谐月有：6，7，8，14，15，16这六个月．