Question

【题目】如图1，已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且相交于点和点．抛物线与轴正半轴交于点为抛物线上两点间一动点，过点作直线轴，与交于点．

（1）求抛物线与抛物线的解析式;

（2）四边形的面积为，求的最大值，并写出此时点的坐标;

（3）如图2，的对称轴为直线，与交于点，在(2)的条件下，直线上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）； ；（2）16；（-1,4）； （3）存在点的坐标或（使得为顶点的三角形与相似，理由见解析．

【解析】

（1）分别利用待定系数法求两个二次函数的解析式；
（2）设点P横坐标为t，则P（t，t2＋t＋6），Q（t，t2＋5t），表示PQ的长，根据两三角形面积和可得S与t的关系式，配方后可得S的最大值；
（3）先确定∠AQB＝135°，然后分两种情况讨论可得结论．

解：（1）将代入得：，

∴，

∵与形状相同，开口相反，

∴，

∴，

将代入得，

解得：，，

∴；

（2）设点横坐标为t，

则，，

∴，

∴

，

∴当时，，此时的坐标为；

（3）存在点，

由得直线为：，

由（2）知点的坐标为点的坐标为，

且为,

令得：为，

如图，设与轴交于点，直线与轴交于点，

作的延长线，垂足为点，易知，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴点在的上方，

， ，

,，

①若，则，

即

此时的坐标为；

②若，则，

即，此时的坐标为，

综上可知存在点的坐标或（使得为顶点的三角形与相似．