Question

【题目】(1) 如图，AD 是等腰△ABC 的中线，AB＝AC．把△BDA 绕 B 点顺时针旋转α角度（0°＜α＜90°）得到△BEF，点 D 对应 E 点，点 A 对应 F 点，AF 与 DE 交于点 G。

① 求证：△BAF∽△BDE

② 求证：AG＝FG

(2) 如图，AB 是⊙O 的一条运动的弦，以 AB 为边向圆外作正方形 ABCD．若⊙O 的半径为 2， 则 OC 的长的最大值是

Answer 1

【答案】(1) 见详解；(2).

【解析】

(1) ①根据旋转的性质，得到∠ABD=∠FBE，， AB=FB，∠ABF=∠DBE，可得证；

②证明△BHE∽△GHF，△BHG∽△EHF，得到∠BGF=90°,由 (1) 中AB=BF，得证AG＝FG；

(2) 根据勾股定理得到OC=OB+BC，可知当当AB为圆的直径时，OC有最大值.

(1) ①∵△ABD旋转到△FBE, ∴∠ABD=∠FBE，， AB=FB，
∴∠ABD+∠DBF=∠FBE+∠DBF，即∠ABF=∠DBE，
∴△BAF∽△BDE；
②联结BG，令BF、EG交于H，
∵△BAF∽△BDE，
∴∠AFB=∠DEB，
又∵∠BHE=∠GHF，
∴△BHE∽△GHF，
∴，
又∵∠BHG=∠EHF，
∴△BHG∽△EHF，
∴∠GBH=∠FEH，
∵∠BEH+∠FEH=∠GFH+∠GBH=90°，
∴∠BGF=90°, 即BG⊥AF，
又∵AB=BF，
∴AG=GF；

(2) 由勾股定理得OC=OB+BC，

∵半径OB=2，

∴当BC为最大时，OC有最大值，

又∵在正方形 ABCD中，AB=BC，

∴当AB为圆的直径时，OC有最大值=.