Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边△OAB

（１）求点B的坐标．

（２）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式．

（３）直线ｙ＝ｘ与（２）中的抛物线在第一象限相交于点C，求点C的坐标；

（４）在（３）中，直线AC上方的抛物线上，是否存在一点D，使得△OCD的面积最大？如果存在。求出点D的坐标和面积的最大值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（１）解：过点B作BE⊥ｘ轴于点E

∵△OAB是等边三角形

∴OE＝2，BE＝2

∴点B的坐标为（2，2）．

（２）根据抛物线的对称性可知，点B（2，2）是抛物线的顶点

设抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－2）＋2

当ｘ＝0时，ｙ＝0

∴0＝ａ（0－2）＋2

∴ａ＝－

∴抛物线的解析式为ｙ＝－（ｘ－2）＋2

即：ｙ＝－ｘ＋2ｘ

（３）设点C的横坐标为ｘ，则纵坐标为ｘ

即点C的坐标为（ｘ，ｘ）代入抛物线的解析式得：ｘ＝－ｘ＋2ｘ

解得：ｘ＝0或ｘ＝3

∵点C在第一象限，∴ｘ＝3，∴点C的坐标为（3，）

（４）存在

设点D的坐标为（ｘ，－ｘ＋2ｘ），△OCD的面积为ｙ

过点D作DF⊥ｘ轴于点F，交OC于点G，则点G的坐标为（ｘ，ｘ）

作CM⊥DF于点M

则OF＋DM＝3，DG＝－ｘ＋2ｘ－ｘ＝－ｘ＋ｘ

∴S＝（－ｘ＋ｘ）×3

∴S＝－ｘ＋ｘ＝－（ｘ－）＋

∴△OCD的最大面积为，此时点D的坐标为（，）