Question

如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；并求AC+CE的最小值；
（2）若x+y=12，x＞0，y＞0请仿照（1）中的规律，运用构图法求出代数式

x2+4

+

y2+9

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理得出AC，CE的长进而得出用含x的代数式表示AC+CE的长；由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，利用勾股定理求出即可；
（2）由（1）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式

x2+4

+

y2+9

的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．

解答：解：（1）∵CD=x，BD=8，
∴CB=8-x，
AC+CE=

52+(8-x) 2

+

x2+1

，
当A、C、E在同一直线上，AC+CE最小；
当A、C、E在同一直线上时，
延长AB，作EF⊥AB于点F，
∵AB=5，DE=1，
∴AF=6，
∵∠ABD=90°，
∴∠FBD=90°，
∵∠BDE=∠BFE=90°，
∴四边形BFED是矩形，
∴BD=EF=8，
∴AE=

AF2+EF2

=

62+82

=10，；

（2）如下图所示：

作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，
当BC=x，
∵x+y=12，
∴y=12-x，
AE的长即为代数式

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值，
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB=DF=2，AF=BD=12，
所以AE=

AF2+EF2

=

122+(3+2)2

=13，
即代数式

x2+4

+

y2+9

的最小值为13．

点评：本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，通过构造直角三角形，利用勾股定理求解是解题关键．