Question

17．如图，已知二次函数图象与x轴交于点A（-1，0）、点B（4，0），与y轴交于点C（0，2），抛物线的顶点为D．
（1）求此二次函数解析式；
（2）连BC，CD，DB，求△BCD的面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案；
（2）直接利用解析式求出D点坐标，再结合各点坐标得出各线段长，进而得出答案．

解答 解：（1）设y=ax²+bx+c，把点A（-1，0）、点B（4，0），点C（0，2），代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
故二次函数的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）如图所示：过点D作DE⊥y轴于点E，
y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2
=-$\frac{1}{2}$（x²-3x）+2
=-$\frac{1}{2}$[（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$]+2
=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
则D点坐标为：（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$），
故DE=$\frac{3}{2}$，EO=$\frac{25}{8}$，则EC=$\frac{25}{8}$-2=$\frac{9}{8}$，
∵A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2），
∴BO=4，CO=2，
∴S_△BCD=S_{四边形DEOB}-S_△ECD-S_△COB
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$+4）×$\frac{25}{8}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{8}$-$\frac{1}{2}$×2×4
=$\frac{15}{4}$．

点评 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积求法，正确得出二次函数解析式是解题关键．