Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，根据三角形中位线定理分别求出OM、ON，根据勾股定理求出OE，根据相似三角形的性质求出FN，得到FC的长，证明△GFC∽△GOE，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．

解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠D=90°，∠ABC=90°，

∴OM∥AD，ON∥AB，

∵点O为AC的中点，

∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3，

∵CE=1.5，

∴ME=CM+CE=6，

在Rt△OME中，OE==3，

∵∠MON=90°，∠EOF=90°，

∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°，

∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，

∴△OME∽△ONF，

∴，即，

解得，FN=9，

∴FC=FN+NC=12，

∵∠FOE=∠FCE=90°，

∴F、O、C、E四点共圆，

∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，

∴△GFC∽△GOE，

∴，

故答案为：．