Question

（2012•郑州模拟）如图，已知直线y=kx+b（k≠0）经过点A（-1，0），且与双曲线y=

k

x

（x＜0）交于点B（-2，1），点C是x轴上方直线y=kx+b（k≠0）上一点，过点C作x轴的平行线，分别交双曲线y=

k

x

（x＜0）和y=-

k

x

（x＞0）于点D，E两点．
（1）填空：k=

-1

，b=

-1

．
（2）若点C在直线y=2上，判断线段BD和线段AE的位置关系和数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点A、B的坐标分别代入直线方程，列出关于k、b的方程组，通过解方程组即可求得它们的值；
（2）利（1）中的直线方程求得点C的坐标；然后根据已知条件“CD∥x轴、点D、E分别在双曲线y=-

2

x

和y=

2

x

上”可以求得点D、E的坐标，从而推知点D是CE的中点，同理推知B是AC的中点，所以BD是△ACE的中位线；最后根据三角形中位线定理来求BD与DE间的关系．

解答：解：（1）∵直线y=kx+b（k≠0）经过点 A（-1，0）、点B（-2，1），
∴

-k+b=0 -2k+b=1

，
解得

k=-1 b=-1

；
故答案是：-1，-1；

（2）BD∥AE，且BD=

1

2

AE；
证明：∵将y=2代入y=-x-1，得x=-3．
∴C（-3，2）；
∵CD∥x轴，
∴C、D、E的纵坐标都等于2．
把y=2分别代入双曲线y=-

2

x

和y=

2

x

，
得D（-1，2），E（1，2）．
由C、D、E三点坐标得D是CE的中点，
同理：B是AC的中点，
∴BD∥AE，且BD=

1

2

AE．（其它方法对应给分）

点评：本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式、三角形中位线定理．利用坐标与图形的性质是解答（2）题的关键．