题目内容

（2012•郑州模拟）已知二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点A（1，0）及B（-2，0）两点．
（1）求二次函数的表达式及抛物线顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出四边形NQAC的面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标．
分析：（1）利用交点式得出抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+2），将C（0，-2）坐标代入求出a的值即可；
（2）利用待定系数法求出线段BM所在的直线的解析式，再利用S=S△AOC+S梯形OCNQ求出S与t间的函数关系式即可求出最值；
（3）利用①若∠APC=90°，则PC2+PA2=AC2，②若∠ACP=90°，则PC2+AC2=PA2，③若∠PAC=90°，则AC2+PA2=PC2，分别求出m的值即可得出P点坐标．
解答：解：（1）∵二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点A（1，0）及B（-2，0）两点．
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x+2），将C（0，-2）坐标代入，-2=a（0-1）（0+2），
解得：a=1，
故y=x2+x-2=（x+
1
2
） 2-
9
4
；则其顶点M的坐标是（-
1
2
，-
9
4
）．

（2）设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，
∴
0=-2k+b
-
9
4
=-
1
2
k+b
．
解得：
k=-
3
2
b=-3
，
∴线段BM所在的直线的解析式为y=-
3
2
x-3．
∵-t=-
3
2
x-3，∴x=
2
3
t-2，点N的坐标为N（
2
3
t-2，-t），
∴S=S△AOC+S梯形OCNQ=
1
2
×1×2+
1
2
（2+t）•|
2
3
t-2|=-
1
3
t2+
1
3
t+3．
∴S与t间的函数关系式为S=-
1
3
t2+
1
3
t+3=-
1
3
（t2-t）+3=-
1
3
（t-
1
2
）2+
37
12
，
故t=
1
2
时，S的最大值为
37
12
．

（3）存在符合条件的点P，
设点P的坐标为P(-
1
2
，m)，如图，连接PA、PC，作CE⊥MP于E．
则AC2=12+22=5；PA2=(-
1
2
-1)2+m2；PC2=(
1
2
)2+(m+2)2．
分以下几种情况讨论：
①若∠APC=90°，则PC2+PA2=AC2，
即(-
1
2
-1)2+m2+(
1
2
)2+(m+2)2=5，
解得：m1=-
1
2
，m2=-
3
2
，
②若∠ACP=90°，则PC2+AC2=PA2，
即(
1
2
)2+(m+2)2+5=(-
1
2
-1)2+m2，
解得：m=-
7
4
．
③若∠PAC=90°，则AC2+PA2=PC2，(-
1
2
-1)2+m2+5=(
1
2
)2+(m+2)2，
解得：m=
3
4
．
综上所述，存在满足条件的点P，其坐标分别是：P1(-
1
2
，-
1
2
)，P2(-
1
2
，-
3
2
)，P3(-
1
2
，-
7
4
)，P4(-
1
2
，
3
4
)．
点评：本题考查了二次函数综合题以及勾股定理的应用等知识，注意△PAC为直角三角形时，需要分三种情况进行讨论，以防漏解．
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4
9
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9
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