Question

如图，已知A、B是⊙O与x轴的两个交点，⊙O的半径为1，P是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、PB分别交直线x=2于C、D两点，E为线段CD的中点．
（1）判断直线PE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）求线段CD长的最小值；
（3）若E点的纵坐标为m，则m的范围为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连接OP，设CD与x轴交于点F．要证PE与⊙O相切，只需证∠OPE=90°，只需证∠OPB+∠EPD=90°，由OP=OB可得∠OPB=∠OBP=∠FBD，只需证∠EPD=∠EDP，只需证EP=ED，只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题．
（2）连接OE，由于PE=

1

2

CD，要求线段CD长的最小值，只需求PE长的最小值，在Rt△OPE中，OP已知，只需求出OE的最小值就可．
（3）设⊙O与y轴的正半轴的交点为Q，由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，而点P在点Q时，点E的纵坐标为1，由此就可得到m的范围．

解答：解：（1）直线PE与⊙O相切．
证明：连接OP，设CD与x轴交于点F．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠APB=∠CPD=90°．
∵E为CD的中点，
∴PE=CE=DE=

1

2

CD，
∴∠EPD=∠EDP．
∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP=∠DBF．
∵∠DBF+∠EDB=90°，
∴∠OPB+∠EPD=∠OPE=90°，
∴EP⊥OP．
∵OP为⊙O的半径，
∴PE是⊙O的切线．

（2）连接OE，
∵∠OPE=90°，OP=1，
∴PE²=OE²-OP²=OE²-1．
∵当OE⊥CD时，OE=OF=2，此时OE最短，
∴PE²最小值为3，即PE最小值为

3

，
∵PE=

1

2

CD，
∴线段CD长的最小值为2

3

．

（3）设⊙O与y轴的正半轴的交点为Q，
由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，
当点P在点Q时，由PE⊥OP可得点E的纵坐标为1．
∵点P是圆上第一象限内的一个动点，
∴m的范围为m＜1．
故答案为：m＜1．

点评：本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE的最小值转化为求OE的最小值是解决第（2）小题的关键．