Question

【题目】如图，将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，且AO:OD=1:2,点F恰好落在x轴的正半轴上，若点C(﹣6，0)，点D在反比例函数y=的图象上．

(1)证明：△AOF是等边三角形，并求k的值；

(2)在x轴上有一点G，且△ACG是等腰三角形，求点G的坐标；

(3)求旋转过程中四边形ABCO扫过的面积；

Answer 1

【答案】(1)证明见解析； k=； (2) ( 8, 0) ，(,0 ) ()，(,0) ；(3) S=.

【解析】试题分析：（1）由旋转的性质可知AO=AF，且∠AOF=∠BAO=∠OAF，可证得△AOF为等边三角形，由题意可求得OA、OD的长，过D作DK⊥x轴于点K，则可求得OK和DK的长，可求得D点坐标，代入反比例函数解析式可求得k的值；

（2）设G（x，0），由A、C的坐标可分别表示出AG、CG和AC的长，分AG=CG、AG=AC和CG=AC三种情况分别得到关于x的方程，可求得x的值，则可求得G点坐标；

（3）过A作AH⊥x轴于H．可求得AH的长．由旋转角=∠CAE=∠OAF=60°，四边形ABCO扫过的面积=扇形CAE的面积+平行四边形ABCO的面积，即可得出结论．

试题解析：解：（1）过D作DK⊥x轴于K．由旋转的性质可得AO=AF=DE=BC，∠BAO=∠OAF．∵AB∥BC，∴∠BAO=∠AOF，∴∠AOF=∠OAF，∴AF=OF，∴AF=OF=OA，∴△AOF为等边三角形．设D（x，y）．∵C(﹣6，0)，∴OC=6，∴AD=CO=6．∵AO：OD=1：2，∴AO=2，OD=4．∵∠COD=∠AOF=60°，∴OK=OD=2，DK=OK=．∵x＜0，y＜0，∴x=-2，y=-，∴D（－2，－ ），∴k=－2×（－）= ．

（2）设G（x，0），且A（1， ），C（﹣6，0），∴AG==，CG=|x+6|，AC==．∵△ACG是等腰三角形，∴有AG=CG、AG=AC和CG=AC三种情况：

①当AG=CG时，则=|x+6|，解得x=﹣，此时G点坐标为（﹣，0）；

②当AG=AC时，则=，解得x=﹣6（与C点重合，舍去）或x=8，此时G点坐标为（8，0）；

③当CG=AC时，则|x+6|=，解得x=﹣6+或x=﹣6﹣，此时G点坐标为（﹣6+，0）或（﹣6﹣，0）；

综上可知G点坐标为（﹣，0）或（8，0）或（﹣6+，0）或（﹣6﹣，0）；

（3）如图2，过A作AH⊥x轴于H．∵OA=2，∠AOH=60°，∴AH=AOsin60°==．AC=，旋转角=∠CAE=∠OAF=60°，四边形ABCO扫过的面积=扇形CAE的面积+平行四边形ABCO的面积==．