Question

如图，在正方形上连接等腰直角三角形，不断反复同一个过程，假设第一个正方形的边长为单位1．第一个正方形与第一个等腰三角形的面积和记作S₁；第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和记作S₂；…；那么第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和S_n用含n的代数式表示为

5

2n+1

．

Answer 1

分析：根据正方形边长相等和等腰直角三角形中腰长为斜边长的

2

2

求解，观察图形，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，根据其规律解题即可．

解答：解：∵第一个正方形的边长为1，
第2个正方形的边长为（

2

2

）¹=

2

2

，
第3个正方形的边长为（

2

2

）²=

1

2

，
…，
第n个正方形的边长为（

2

2

）^n-1，
∴第n个正方形的面积=[（

2

2

）²]^n-1=

1

2n-1

，
则第n个等腰直角三角形的面积为：

1

2n-1

×

1

4

=

1

2n+1

，
故S_n与n的关系为：S_n=

1

2n+1

+

1

2n-1

=

5

2n+1

．
故答案为：

5

2n+1

．

点评：此题主要考查了正方形的性质以及等腰直角三角形的性质和直角边长是斜边长的

2

2

倍及正方形的面积公式求解．找到第n个正方形的边长为（

2

2

）^n-1是解题的关键．