Question

如图，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S₁，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S₂，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为S_n，猜想出S_n与n的关系

 

．

Answer 1

分析：观察图形，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，根据其规律解题即可．

解答：解：可以发现，第一个正方形的边长为1，第2个正方形的边长为（

2

2

）¹=

2

2

，第3个正方形的边长为（

2

2

）²=

1

2

，第n个正方形的边长为（

2

2

）^（n-1）∴第n个正方形的面积=[（

2

2

）²]^n-1=

1

2n-1

，则第n个等腰直角三角形的面积为：

1

2n-1

×

1

4

=

1

2n+1

，
∴S_n=

1

2n+1

+

1

2n-1

=

5

2 n+1

，
故答案为：S=

5

2 n+1

．

点评：本题利用了等腰直角三角形的性质，直角边长是斜边长的

2

2

倍，及正方形的面积公式求解．找到第n个正方形的边长为（

2

2

）^n-1是解题的关键．