Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90º，∠ABC=30º，BC=，以AC为边在△ABC的外部作等边△ACD，连接BD．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）求BD的长．

Answer 1

（1）；（2）.

试题分析：（1）先解直角△ABC，得出AC=2，AB=4，则△ABC的面积=AC•BC=，再过点D作DE⊥AC于E，解直角△ADE，得出DE=，则△ACD的面积=AC•DE=，则根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积求解.
（2）过点D作DF⊥AB于F．先求出∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°，再解直角△ADF，得出AF=1，DF=
，则BF=AF+AB=5，然后在直角△BDF中运用勾股定理即可求出BD的长度．
试题解析：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，
∴AC=2，AB=4．
∴△ABC的面积=AC•BC=×2×=．
∵△ACD为等边三角形，
∴AD=AC=2，∠DAC=60°．
过点D作DE⊥AC于E．
在△ADE中，∵∠AED=90°，∠DAE=60°，AD=2，
∴.
∴△ACD的面积=AC•DE=×2×=.
∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=.
（2）过点D作DF⊥AB于F．
∵∠BAC=60°，∠DAC=60°，
∴∠DAF=180°-∠BAC-∠DAC=60°．
在△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=60°，AD=2，
∴AF=1，DF=.
∴BF=AF+AB=1+4=5，
∴.