题目内容

已知直线y=kx+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线y=ax²-x+c交于点A和点C $数学公式$ ，抛物线的顶点为D．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）在坐标系中画出两个函数图象；
（3）求△ABD的面积．

解：（1）把C（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）代入y=kx+1得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ k+1，解得k= $\text{[math]}$ ，
所以直线的解析式为y= $\text{[math]}$ x+1；
令y=0，则 $\text{[math]}$ x+1=0，解得x=-2，
所以A点坐标为（-2，0），
把A（-2，0）、C（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）代入y=ax²-x+c得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
所以抛物线的解析式为y=-x²-x+2；
（2如图，

（3）设抛物线的对称轴交x轴于D点，
抛物线顶点D的坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），B点坐标为（0，1），
∵S_△ABD+S_△OAB=S_△ADE+S_梯形DBOE，
∴S_△ABD= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ （1+ $\text{[math]}$ ）× $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×1×2
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -1
= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把C（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）代入y=kx+1可求出k，则可确定直线的解析式；再确定A点坐标，然后把A（-2，0）、C（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）代入y=ax²-x+c得到关于a、c的方程组，解方程组求出a、c即可确定抛物线的解析式；
（2）利用描点法画出两函数的图象；
（3）先得到抛物线顶点D的坐标为（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），B点坐标为（0，1），
然后利用S_△ABD+S_△OAB=S_△ADE+S_梯形DBOE进行计算．
点评：本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式：设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），再把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，从而确定二次函数的解析式．