Question

13．如图，△ABC中，EF∥BC，AD交EF于G．
（1）图中有几对相似三角形？是哪几对？
（2）$\frac{EG}{BD}$和$\frac{GF}{DC}$相等吗？为什么？
（3）若EG=2，GF=3，BD=5，求DC长．

Answer 1

分析 （1）根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似即可解答；
（2）根据EF∥BC，于是得到△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，根据相似三角形的性质得到$\frac{EG}{BD}=\frac{AG}{AD}$，$\frac{GF}{CD}=\frac{AG}{AD}$，等量代换得到$\frac{EG}{BD}$=$\frac{GF}{DC}$；
（3）根据$\frac{EG}{BD}$=$\frac{GF}{DC}$，代入数据即可得到结论．

解答 解：（1）图中共有3对相似三角形，
理由如下：
∵EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC；

（2）$\frac{EG}{BD}$和$\frac{GF}{DC}$相等，
理由：∵EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，
∴$\frac{EG}{BD}=\frac{AG}{AD}$，$\frac{GF}{CD}=\frac{AG}{AD}$，
∴$\frac{EG}{BD}$=$\frac{GF}{DC}$；

（3）∵$\frac{EG}{BD}$=$\frac{GF}{DC}$，EG=2，GF=3，BD=5，
∴$\frac{2}{5}=\frac{3}{CD}$，
CD=$\frac{15}{2}$．

点评 本题主要考查相似三角形的平行线判定法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．