Question

【题目】如图：对称轴的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上．

求抛物线的解析式．

点为抛物线与轴的交点．

①点在抛物线上，且，求点点坐标．

②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 点的坐标为或；（3）当时，有最大值．

【解析】

（1）因为抛物线的对称轴为x=-1，A点坐标为（-3，0）与（2，5）在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答；
（2）①先由二次函数的解析式为y=x2+2x-3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x-3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3，再设Q点坐标为（x，-x-3），则D点坐标为（x，x2+2x-3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．

因为抛物线的对称轴为，点坐标为与在抛物线上，则：

，

解得：．

所以抛物线的解析式为：．

二次函数的解析式为，

∴抛物线与轴的交点的坐标为，．

设点坐标为，

∵，

∴，

∴，．当时，；

当时，．

∴点的坐标为或；

设直线的解析式为，将，代入，

得，

解得：．

即直线的解析式为．

设点坐标为，则点坐标为，

，

∴当时，有最大值．