Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别是射线AB、射线CB上的动点，点D从点A出发沿射线AB移动，点E从点B出发沿BG移动，点D、点E同时出发并且运动速度相同．连接CD、DE．

（1）如图①，当点D移动到线段AB的中点时，求证：DE=DC．

（2）如图②，当点D在线段AB上移动但不是中点时，试探索DE与DC之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图③，当点D移动到线段AB的延长线上，并且ED⊥DC时，求∠DEC度数．

Answer 1

【答案】（1）见详解；

（2）DE=DC，理由见详解；

（3）∠DEC=45°

【解析】

（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证

（2）猜测，寻找条件证明即可.最常用的是证明两个三角形全等，但图中给出的三角形中并未出现全等三角形，所以添加辅助线：在射线AB上截取，这样只要证明即可.利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，这样通过两个等边三角形即可证明.

（3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线CB上截取，用同样的方法证明，又因为ED⊥DC，所以为等腰之间三角形，则∠DEC度数可求.

由题意可知

∵D为AB的中点

∵为等边三角形，

（2）

理由如下：

在射线AB上截取，连接EF

∵为等边三角形

∴为等边三角形

由题意知

即

在和中，

（3）如图，在射线CB上截取，连接DF

∵为等边三角形

∴为等边三角形

由题意知

即

在和中，

∵ED⊥DC

∴为等腰直角三角形