Question

【题目】如图，抛物线的顶点为，直线与抛物线交于，两点．是抛物线上一点，过作轴，垂足为．如果以，，为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是________．

Answer 1

【答案】，，．

【解析】

根据抛物线的解析式，易求得A（-1，0），D（1，0），C（0，-1）；则△ACD是等腰直角三角形，由于AP∥DC，可知∠BAC=90°；根据D、C的坐标，用待定系数法可求出直线DC的解析式，而AB∥DC，则直线AB与DC的斜率相同，再加上A点的坐标，即可求出直线AB的解析式，联立直线AB和抛物线的解析式，可求出B点的坐标，即可得出AB、AC的长．在Rt△ABC和Rt△AMG中，已知了∠BAC=∠AGM=90°，若两三角形相似，则直角边对应成比例，据此可求出M点的坐标．

易知：A(1,0),D(1,0),C(0,1)；

则OA=OD=OC=1，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴∠ACD=90°,AC=；

又∵AB∥DC，

∴∠BAC=90°；

易知直线BD的解析式为y=x1，

由于直线AB∥DC,可设直线AB的解析式为y=x+b,由于直线AB过点A(1,0)；

则直线AB的解析式为：y=x+1，

联立抛物线的解析式：，

解得,；

故B(2,3)；

∴AP==3；

Rt△BAC和Rt△AMG中,∠AGM=∠PAC=90°,且BA:AC=3: =3:1；

若以A.M、G三点为顶点的三角形与△BCA相似，则AG:MG=1:3或3:1；

设M点坐标为(m,m21),(m<1或m>1)

则有：MG=m21，AG=|m+1|；

①当AM:MG=1:3时,m21=3|m+1|,m21=±(3m+3)；

当m21=3m+3时,m23m4=0,解得m=1(舍去)，m=4；

当m21=3m3时,m2+3m+2=0,解得m=1(舍去)，m=2；

∴M1(4,15),M2(2,3)；

②当AM:MG=3:1时,3(m21)=|m+1|,3m23=±(m+1)；

当3m23=m+1时,3m2m4=0,解得m=1(舍去),m=；

当3m23=m1时,3m2+m2=0,解得m=1(舍去),m=(舍去)；

∴M3(,).

故符合条件的M点坐标为：(4,15),(2,3), (,).

故答案为：:(4,15),(2,3), (,).