Question

【题目】如图，△ABC中，∠B＝∠C＝30°，点O是BC边上一点，以点O为圆心、OB为半径的圆经过点A，与BC交于点D.

⑴ 试说明AC与⊙O相切；

⑵ 若，求图中阴影部分的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OA，先得出∠OAB=30°，再解得∠OAC=90°，从而可判断出AC与⊙O的位置关系；

（2）连接AD，设OA的长度为x，根据“阴影部分的面积=△OAC的面积-扇形OAD的面积”列出方程即可求解.

⑴ 连接OA.

∵ OA=OB

∴ ∠OAB=∠B

∵ ∠B=30°

∴ ∠OAB=30°

△ABC中：∠B=∠C=30°

∴ ∠BAC=180°－∠B－∠C=120°

∴ ∠OAC=∠BAC－∠OAB=120°－30°=90°

∴ OA⊥AC

∴ AC是⊙O的切线，即AC与⊙O相切.

⑵ 连接AD.

∵ ∠C=30°，∠OAC=90°

∴ OC=2OA

设OA的长度为x，则OC=2x

在△OAC中，∠OAC=90°，

根据勾股定理可得：

解得：，（不合题意，舍去）

∴，

∴

答：图中阴影部分的面积为.