Question

如图，AE是△ABC中BC边上的高线也是中线，点D在线段AE上（不与两端点重合）．
（1）证明：△ADB≌△ADC；
（2）当△AEB∽△BED时，若sin∠BAE=

1

3

，BC=4，求线段DE的长度．

Answer 1

分析：（1）由已知证明AE垂直平分线段BC，根据垂直平分线的性质得AB=AC，DB=DC，而AD=AD，利用“SSS”证明△ADB≌△ADC；
（2）由△AEB∽△BED得∠DBE=∠BAE，把问题转化到Rt△BDE中，解直角三角形求DE．

解答：（1）证明：∵AE是△ABC中BC边上的高线也是中线，即线段AE在BC的中垂线上，
∴AB=AC，DB=DC，
又∵AD=AD，
∴△ADB≌△ADC（SSS）；

（2）解：∵△AEB∽△BED，∴∠BAE=∠DBE，
∵sin∠BAE=

1

3

，
∴sin∠DBE=

1

3

，
在Rt△DBE中，sin∠DBE=

1

3

=

DE

BD

，
∴BD=3DE，
又BC=4，E为中点，∴BE=2，
∵DE²+BE²=BD²，∴DE²+4=9DE²，
解得 DE=

2

2

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形．关键是根据题意得出线段的垂直平分线．