Question

如图，在三角形ABC中，以AB为直径作⊙O，交AC于点E，OD⊥AC于D，∠AOD=∠C．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若AE=12，cosC=

2

3

，求OD的长．

Answer 1

分析：（1）因为AB为圆的直径，所以要证明BC为⊙O的切线，转化为证明∠ABC=90°即可
（2）由垂径定理可得，D为AE中点，根据已知可利用锐角三角函数和勾股定理求出．

解答：（1）证明：∵OD⊥AC于D，
∴∠ADO=90°，
∴∠A+∠AOD=90°，
又∵∠AOD=∠C，
∴∠C+∠A=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC为⊙O的切线；

（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，
∴D为AE中点，
∴AD=DE=

1

2

AE=6，
又∵∠AOD=∠C，
∴cosC=cos∠AOD=

2

3

∴

DO

AO

=

2

3

，
设OD=2x，则AO=3x，∵AD=6，
∴（2x）²+6²=（3x）²，
∴x=

6 5

5

．
∴OD=2x=

12 5

5

．

点评：此题主要考查了圆的切线判定和性质，及解直角三角形的知识和垂径定理的应用等知识，利用OD⊥AE，O为圆心，得出D为AE中点，再利用解直角三角形知识是解决问题的关键．