Question

已知甲、乙、丙3种食物的维生素含量和成本如下表：

	甲种食物	乙种食物	丙种食物
维生素A（单位/kg）	300	600	300
维生素B（单位/kg）	700	100	300
成本（元/kg）	6	4	3

某食品公司欲用这3种食物混合研制100千克食品，要求研制成的食品中至少含36000单位的维生素A和40000单位的维生素B．
（1）研制这100千克食品，至少要用甲种食物多少千克？丙种食物至多能用多少千克？
（2）若限定甲种食物用50千克，则研制这100千克食品的总成本S的取值范围是多少？

Answer 1

分析：（1）设研制100千克食品用甲种、乙种和丙种食物各x千克，y千克和z千克，根据“这3种食物混合研制100千克食品”“食品中至少含36000单位的维生素A和40000单位的维生素B”可列方程和不等式组，解即可；
（2）根据题意表示出研制100千克食品的总成本，将z=100-x-y代入，可得S与y之间的关系式，从而根据自变量求S的取值范围．

解答：解：（1）设研制100千克食品用甲种、乙种和丙种食物各x千克，y千克和z千克，
由题意，得

x+y+z=100 300x+600y+300z≥36000 700x+100y+300z≥40000

，
即

x+y+z=100① x+2y+z≥120② 7x+y+3z≥400③

，
由①z=100-x-y，代入②③，得

y≥20 2x-y≥50

，
∴2x≥y+50≥70，x≥35，
将①变形为y=100-x-z，代入②，得
z≤80-x≤80-35=45，
答：即至少要用甲种食物35千克，丙种食物至多能用45千克．

（2）研制100千克食品的总成本S=6x+4y+3z，
将z=100-x-y代入，得S=3x+y+300．
当x=50时，S=y+450，
20≤y≤50．
∴470≤S≤500．
答：则研制这100千克食品的总成本S的取值范围是470≤S≤500．

点评：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．要会根据自变量的取值范围结合函数的单调性求函数的最值问题．