题目内容
如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设PE=y；（1）求y关于x的函数关系式；
（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？
（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）由四边形ABCD为矩形，得到∠D为直角，对边相等，可得三角形ADC为直角三角形，由AD与DC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由PE平行于CD，利用两直线平行得到两对同位角相等，可得出三角形APE与三角形ADC相似，由相似得比例，将各自的值代入，整理后得到y与x的关系式；
（2）若QB与PE平行，得到四边形PQBE为矩形，不合题意，故QB与PE不平行，当PQ与BE平行时，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出一对邻补角相等，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，可得出三角形APQ与三角形BEC相似，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到四边形PQBE为梯形时x的值；
（3）存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况考虑：当Q在AE上时，由AE-AQ表示出QE，再根据PQ=PE，PQ=EQ，PE=QE三种情况，分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意x的值；当Q在EC上时，由AQ-AE表示出QE，此时三角形为钝角三角形，只能PE=QE列出关于x的方程，求出方程的解得到满足题意x的值，综上，得到所有满足题意的x的值．
解答：解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，
∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC=
=5，
∵PE∥CD，
∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD，
∴△APE∽△ADC，
又PD=x，AD=4，AP=AD-PD=4-x，AC=5，PE=y，DC=3，
∴
=
=
，即
=
=
，
∴y=-
x+3；
（2）若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，
故QB与PE不平行，
当QP∥BE时，∠PQE=∠BEQ，
∴∠AQP=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠BCE，
∴△PAQ∽△BCE，
由（1）得：AE=-
x+5，PA=4-x，BC=4，AQ=x，
∴
=
=
，即
=
=
，
整理得：5（4-x）=16，
解得：x=
，
∴当x=
时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；
（3）存在．分两种情况：
当Q在线段AE上时：QE=AE-AQ=-
x+5-x=5-
x，
（i）当QE=PE时，5-
x=-
x+3，
解得：x=
；
（ii）当QP=QE时，∠QPE=∠QEP，
∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°，
∴∠APQ=∠PAQ，
∴AQ=QP=QE，
∴x=5-
x，
解得：x=
；
（iii）当QP=PE时，过P作PF⊥QE于F，
可得：FE=
QE=
（5-
x）=
，
∵PE∥DC，∴∠AEP=∠ACD，
∴cos∠AEP=cos∠ACD=
=
，
∵cos∠AEP=
=
=
，
解得：x=
；
当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图所示：
∴PE=EQ=AQ-AE，AQ=x，AE=-
x+5，PE=-
x+3，
∴-
x+3=x-（-
x+5），
解得：x=
．
综上，当x=
或x=
或x=
或x=
时，△PQE为等腰三角形．
点评：此题属于相似综合题，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，梯形的判定，以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．
（2）若QB与PE平行，得到四边形PQBE为矩形，不合题意，故QB与PE不平行，当PQ与BE平行时，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出一对邻补角相等，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，可得出三角形APQ与三角形BEC相似，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到四边形PQBE为梯形时x的值；
（3）存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况考虑：当Q在AE上时，由AE-AQ表示出QE，再根据PQ=PE，PQ=EQ，PE=QE三种情况，分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意x的值；当Q在EC上时，由AQ-AE表示出QE，此时三角形为钝角三角形，只能PE=QE列出关于x的方程，求出方程的解得到满足题意x的值，综上，得到所有满足题意的x的值．
解答：解：（1）∵矩形ABCD，
∴∠D=90°，AB=DC=3，AD=BC=4，
∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC=
=5，∵PE∥CD，
∴∠APE=∠ADC，∠AEP=∠ACD，
∴△APE∽△ADC，
又PD=x，AD=4，AP=AD-PD=4-x，AC=5，PE=y，DC=3，
∴
=
=
，即
=
=
，∴y=-
x+3；（2）若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，
故QB与PE不平行，
当QP∥BE时，∠PQE=∠BEQ，
∴∠AQP=∠CEB，
∵AD∥BC，
∴∠PAQ=∠BCE，
∴△PAQ∽△BCE，
由（1）得：AE=-
x+5，PA=4-x，BC=4，AQ=x，∴
=
=
，即
=
=
，整理得：5（4-x）=16，
解得：x=
，∴当x=
时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；（3）存在．分两种情况：
当Q在线段AE上时：QE=AE-AQ=-
x+5-x=5-
x，（i）当QE=PE时，5-
x=-
x+3，解得：x=
；（ii）当QP=QE时，∠QPE=∠QEP，
∵∠APQ+∠QPE=90°，∠PAQ+∠QEP=90°，
∴∠APQ=∠PAQ，
∴AQ=QP=QE，
∴x=5-
x，解得：x=
；（iii）当QP=PE时，过P作PF⊥QE于F，
可得：FE=
QE=
（5-
x）=
，∵PE∥DC，∴∠AEP=∠ACD，
∴cos∠AEP=cos∠ACD=
=
，∵cos∠AEP=
=
=
，解得：x=
；当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图所示：
∴PE=EQ=AQ-AE，AQ=x，AE=-
x+5，PE=-
x+3，∴-
x+3=x-（-
x+5），解得：x=
．综上，当x=
或x=
或x=
或x=
时，△PQE为等腰三角形．点评：此题属于相似综合题，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，梯形的判定，以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．
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