Question

直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC，点P是三角形ABC内一点，且满足∠PAB=∠PBC=∠PCA，
（1）判断PC与PB的位置关系，并对你的判断加以说明．
（2）△ABP与△APC的面积比．

Answer 1

解：（1）PC⊥PB．理由如下：
∵∠C=90°，
∴∠PCA+∠PCB=90°，
∵∠PCA=∠PBC，
∴∠PCB+∠PBC=90°，
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PBC）=180°-90°=90°，
∴PC⊥PB；

（2）∵∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠CAB，AB=AC，
∵∠ABC=∠PBA+∠PBC，∠CAB=∠PAB+∠PAC，∠PAB=∠PBC，
∴∠PBA=∠PAC，
又∵∠PAB=∠PCA，
∴△PAB∽△PCA，
∴△ABP与△APC的面积比为（AB：AC）²=（）²=2．
故答案为：2．
分析：（1）垂直．根据∠PCA+∠PCB=90°，∠PCA=∠PBC，可以推出∠PCB+∠PBC=90°，再根据三角形的内角和定理可以求出∠BPC=90°，从而得解；
（2）先判断出△ABC是等腰直角三角形，再根据角的关系证明得到∠PBA=∠PAC，然后证明△PAB与△PCA相似，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解．
点评：本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，仔细分析图形，找出相似三角形是解题的关键．