Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 ．

Answer 1

【答案】（0，3）、（4，0）、（ ，0）
【解析】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CAP=∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABC，
∴ = ，
∵点A（8，0）和点B（0，6），
∴AB= =10，
∵点C是AB的中点，
∴AC=5，
∴ = ，
∴AP= ，
∴OP=OA﹣AP=8﹣ = ，
此时P点坐标为（ ，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（ ，0）．
故答案为：（0，3）、（4，0）、（ ，0）

分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．