Question

【题目】矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，O为边AD上一点，以O为圆心，OA为半径r作⊙O，过点B作⊙O的切线BF，F为切点．

（1）如图1，当⊙O经过点C时，求⊙O截边BC所得弦MC的长度；

（2）如图2，切线BF与边AD相交于点E，当FE＝FO时，求r的值；

（3）如图3，当⊙O与边CD相切时，切线BF与边CD相交于点H，设△BCH、四边形HFOD、四边形FOAB的面积分别为S1、S2、S3，求的值．

Answer 1

【答案】（1）CM＝；（2）r＝2﹣2；（3）1．

【解析】

（1）如图1中，连接OM，OC，作OH⊥BC于H．首先证明CM＝2OD，设AO＝CO＝r，在Rt△CDO中，根据OC2＝CD2+OD2，构建方程求出r即可解决问题．

（2）证明△OEF，△ABE都是等腰直角三角形，设OA＝OF＝EF＝r，则OE＝r，根据AE＝2，构建方程即可解决问题．

（3）分别求出S1、S2、S3的值即可解决问题．

解：（1）如图1中，连接OM，OC，作OH⊥BC于H．

∵OH⊥CM，

∴MH＝CH，∠OHC＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠HCD＝90°，

∴四边形CDOH是矩形，

∴CH＝OD，CM＝2OD，

设AO＝CO＝r，

在Rt△CDO中，∵OC2＝CD2+OD2，

∴r2＝22+（3﹣r）2，

∴r＝，

∴OD＝3﹣r＝，

∴CM＝2OD＝．

（2）如图2中，

∵BE是⊙O的切线，

∴OF⊥BE，

∵EF＝FO，

∴∠FEO＝45°，

∵∠BAE＝90°，

∴∠ABE＝∠AEB＝45°，

∴AB＝BE＝2，

设OA＝OF＝EF＝r，则OE＝r，

∴r+r＝2，

∴r＝2﹣2．

（3）如图3中，

由题意：直线AB，直线BH，直线CD都是⊙O的切线，

∴BA＝BF＝2，FH＝HD，设FH＝HD＝x，

在Rt△BCH中，∵BH2＝BC2+CH2，

∴（2+x）2＝32+（2﹣x）2，

∴x＝，

∴CH＝，

∴S1＝

S2＝，

S3＝＝3，

∴．