Question

【题目】如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0).

（1）求直线AB的函数关系式；

（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2） （0≤t≤3）；（3）t=1或2时；四边形BCMN为平行四边形；t=1时，平行四边形BCMN是菱形，t=2时，平行四边形BCMN不是菱形，理由见解析.

【解析】

（1）由A、B在抛物线上，可求出A、B点的坐标，从而用待定系数法求出直线AB的函数关系式．

（2）用t表示P、M、N 的坐标，由等式得到函数关系式．

（3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，求出t．再讨论邻边是否相等．

解：（1）x=0时，y=1，

∴点A的坐标为：（0，1），

∵BC⊥x轴，垂足为点C（3，0），

∴点B的横坐标为3，

当x=3时，y=，

∴点B的坐标为（3，），

设直线AB的函数关系式为y=kx+b， ，

解得，，

则直线AB的函数关系式

（2）当x=t时，y=t+1，

∴点M的坐标为（t，t+1），

当x=t时，

∴点N的坐标为

（0≤t≤3）；

（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，
∴，

解得t1=1，t2=2，

∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形，
①当t=1时，MP=，PC=2，

∴MC==MN，此时四边形BCMN为菱形，

②当t=2时，MP=2，PC=1，

∴MC=≠MN，此时四边形BCMN不是菱形．