Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S_△MAP=2S_△ACP？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用交点式将抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，代入y=a（x-x₁）（x-x₂），求出二次函数解析式即可；
（2）利用△QOC∽△COA，得出QO的长度，得出Q点的坐标，再求出直线QC的解析式，将两函数联立求出交点坐标即可；
（3）首先求出二次函数顶点坐标，S_{四边形AEPC}=S_{四边形OEPC}+S_△AOC，以及S_{四边形AEPC}=S_△AEP+S_△ACP=得出使得S_△MAP=2S_△ACP点M的坐标．

解答：解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x-x₁）（x-x₂），
∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（-3，0）两点，
∴y=a（x-1）（x+3），
又∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴a（0-1）（0+3）=3，
∴a=-1
∴y=-（x-1）（x+3），
即y=-x²-2x+3，
用其他解法参照给分；

（2）∵点A（1，0），点C（0，3），
∴OA=1，OC=3，
∵DC⊥AC，
∴∠DCO+∠OCA=90°，
∵OC⊥x轴，
∴∠COA=∠COQ，∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠DCO=∠OAC，
∴△QOC∽△COA，
∴

OQ

OC

=

OC

OA

，即

OQ

3

=

3

1

，
∴OQ=9，
又∵点Q在x轴的负半轴上，
∴Q（-9，0），
设直线QC的解析式为：y=mx+n，则

n=3 -9m+n=0

，
解之得：

m= 1 3 n=3

，
∴直线QC的解析式为：y=

1

3

x+3，
∵点D是抛物线与直线QC的交点，
∴

y= 1 3 x+3 y=-x2-2x+3

，
解之得：

x1=- 7 3 y 1= 20 9

x2=0 y2=3

（不合题意，应舍去），
∴点D（-

7

3

，

20

9

)，
用其他解法参照给分；

（3）如图，点M为直线x=-1上一点，连接AM，PC，PA，
设点M（-1，y），直线x=-1与x轴交于点E，
∴E（-1，0），
∵A（1，0），
∴AE=2，
∵抛物线y=-x²-2x+3的顶点为P，对称轴为x=-1，
∴P（-1，4），
∴PE=4，
则PM=|4-y|，
∵S_{四边形AEPC}=S_{四边形OEPC}+S_△AOC，
=

1

2

×1×(3+4)+

1

2

×1×3，
=

1

2

×(7+3)，
=5，
又∵S_{四边形AEPC}=S_△AEP+S_△ACP，
S_△AEP=

1

2

AE×PE=

1

2

×2×4=4，
∴S_△ACP=5-4=1，
∵S_△MAP=2S_△ACP，
∴

1

2

×2×|4-y|=2×1，
∴|4-y|=2，
∴y₁=2，y₂=6，
故抛物线的对称轴上存在点M使S_△MAP=2S_△ACP，
点M（-1，2）或（-1，6）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型，特别注意利用数形结合是这部分考查的重点，也是难点，同学们应重点掌握．