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精英家教网如图,已知抛物线与x轴交于点A(-1,0),与y轴交于点C(0,3),且对称轴方程为x=1
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)设抛物线的顶点为D,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P,使得△PDC是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)若点M是抛物线上一点,以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M的坐标.
分析:(1)本题须根据抛物线与x轴的交点和对称轴方程即可得出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为.
(2)本题须根据A、C、B的坐标运用待定系数法即可求出求抛物线的解析式.
(3)本题须分以CD为底边和以CD为一腰两种情况分类讨论,即可得出△PDC是等腰三角形符合条件的点P的坐标.
(4)本题须根据勾股定理,∠BCD=90° 再由抛物线对称性可知点坐标M为(2,3).
解答:解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(-1,0),对称轴方程为x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(3,0).

(2)∵抛物线与y轴交于点C(0,3),∴设抛物线解析式为 y=ax2+bx+3(a不等于0)根据题意,得 a-b+3=0 9a+3b+3=0 解得 a=-1,b=2,∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3

(3)存在由y=-x2+2x+3得,D点坐标为(1,4),对称轴为x=1
①若以CD为底边,则PD=PC,设P点坐标为(x,y)根据勾股定理得x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2 即y=4-x 又P点(x,y)在抛物线上,
∴4-x=-x2+2x+3,即 x2-3x+1=0 解得 x=
5
2

3-
5
2
<1 (舍去)∴x=
3+
5
2
∴y=4-x=
5-
5
2

即点P坐标为 (
3+
5
2
5-
5
2

②若以CD为一腰,因为点P在对称轴右侧的抛物线上,
由抛物线对称性知,点P与点C关于直线x=1对称,此时点P坐标为(2,3)
∴符合条件的点P坐标为(
3+
5
2
5-
5
2
) 或(2,3)

(4)由B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾股定理,得CB=3
2
,CD=
2
,BD=2
5
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∴CD2+CB2=BD2=20
∴∠BCD=90°
设对称轴交x轴于点E,过C作CM⊥DE,交抛物线于点M,垂足为F,在Rt△DCF中∵CF=DF=1∴∠CDF=45°
由抛物线对称性可知,∠CDM=2×45°=90°,点坐标M为(2,3)
∴DM∥BC∴四边形BCDM为直角梯形由∠BCD=90°及题意可知以BC为一底时,顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况;以CD为一底或以BD为一底,且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在.
点评:本题主要考查了二次函数的综合应用,在解题时要注意二次函数的有关性质以及数形结合思想、分类讨论思想的应用.
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