Question

观察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，将以上三个等式两边分别相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

（1）猜想并写出：

1

n(n+1)

=

 

；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

=

 

；
②

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

．
（3）探究并计算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2006×2008

．

Answer 1

分析：（1）从材料中可看出规律是

1

n

-

1

n+1

；
（2）直接根据规律求算式（2）中式子的值，即展开后中间的项互相抵消为零，只剩下首项和末项，要注意的是末项的符号是负号，规律为

n

n+1

；
（3）观察它的分母，发现两个因数的差为2，若把每一项展开成差的形式，则分母是2，为了保持原式不变则需要再乘以

1

2

，即得出最后结果．

解答：解：（1）

1

n

-

1

n+1

；
（2）①

2006

2007

；
②

n

n+1

；
（3）原式=

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

4

-

1

6

)+

1

2

(

1

6

-

1

8

)+…+

1

2

(

1

2006

-

1

2008

)
=

1

2

(

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+

1

6

-

1

8

+…+

1

2006

-

1

2008

)
=

1

2

(

1

2

-

1

2008

)
=

1003

4016

点评：本题考查的是有理数的运算能力和学生的归纳总结能力．解题关键是会从材料中找到数据之间的关系，并利用数据之间的规律总结出一般结论，然后利用结论直接解题．本题中的难点是第（3）个问题，找出分母因数的差为2，把每一项展开成差的形式，则分母是2，所以为了保持原式不变需要再乘以

1

2

，是解决此题的关键．