Question

【题目】如图，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y(k≠0)的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点B作BM⊥x轴，垂足为点M，BM=OM=2，点A的纵坐标为4．

（1）求该反比例函数和一次函数的表达式；

（2）根据图象直接写出当mx+n时，x的取值范围；

（3）直线AB交x轴于点D，过点D作直线l⊥x轴，如果直线l上存在点P，坐标平面内存在点Q，使以O、P、A、Q为顶点的四边形是矩形，直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y，y=2x+2；（2）x＞1或﹣2＜x＜0；（3）存在，点P的坐标为(﹣1，)或(﹣1，)或(﹣1，2)或(﹣1，2)．

【解析】

(1)根据题意得出B点坐标，进而得出反比例函数解析式，再利用待定系数法得出一次函数解析式；

（2）若mx+n，结合图象可知即一次函数图象再反比例函数图象之上，结合图象即可求解；

（3）若以O、P、A、Q为顶点的四边形是矩形，则存在两种情况，①若AO为边，②若AO是对角线.

（1）∵BM=OM=2，

∴点B的坐标为(﹣2，﹣2)，

设反比例函数的解析式为y，

则﹣2，

得k=4，

∴反比例函数的解析式为y，

∵点A的纵坐标是4，

∴4，得x=1，

∴点A的坐标为(1，4)．

∵一次函数y=mx+n(m≠0)的图象过点A(1，4)、点B(﹣2，﹣2)，

∴，

解得：，

即一次函数的解析式为y=2x+2；

（2）由图象可得当x＞1或﹣2＜x＜0时，mx+n；

（3）存在，

若AO为边，

如图1，当四边形POAQ是矩形时，则∠POA=90°，

∵点A(1，4)，点O(0，0)，∴AO解析式为y=4x，∴直线DO解析式为：yx．

∵直线AB于x轴交于D，∴D(﹣1，0)，∴OD=1，

设P(﹣1，a)，∴a，∴点P(﹣1，)；

当四边形PAOQ是矩形，则∠PAO=90°，

同理可求：点P(﹣1，)；

若AO是对角线，

如图2，当∠APO=90°，

∵OP2=OA2﹣PA2=PD2+OD2，∴12+42﹣[(1+1)2+(4﹣a)2]=12+a2，

解得：a=2±，∴P(﹣1，2)或(﹣1，2)，

综上所述：点P的坐标为(﹣1，)或(﹣1，)或(﹣1，2)或(﹣1，2)．