题目内容
如图，已知在半径为2的⊙O中有一点E，过点E的弦AB与CD互相垂直，且OE=1，（1）求AB2+CD2的值；
（2）求证：AE2+CE2+EB2+ED2为定值；
（3）求证：AC2+BC2+BD2+AD2为定值．
考点：垂径定理,勾股定理
专题：证明题
分析：（1）作辅助线“连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N”构造矩形ENOM，然后利用勾股定理和垂径定理，求得OM2+ON2，然后求得AB2+CD2的值；
（2）如图，过点E作直径PH，则EP•EH=EA•EB（相交弦定理），由代数式的变形得到：
AE2+CE2+EB2+ED2=（AE+BE）2-2AE•BE+（CE+DE）2-2CE•DE=AB2+CD2-4AE•EB=28-4AE•EB=16；
（3）如图，连接AC、BC、AD、BD．根据勾股定理得到：AC2+BC2+BD2+AD2=2（AE2+BE2）+2（DE2+EC2），把（1）的结果代入得到定值32．
（2）如图，过点E作直径PH，则EP•EH=EA•EB（相交弦定理），由代数式的变形得到：
AE2+CE2+EB2+ED2=（AE+BE）2-2AE•BE+（CE+DE）2-2CE•DE=AB2+CD2-4AE•EB=28-4AE•EB=16；
（3）如图，连接AC、BC、AD、BD．根据勾股定理得到：AC2+BC2+BD2+AD2=2（AE2+BE2）+2（DE2+EC2），把（1）的结果代入得到定值32．
解答：
解：（1）连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N，
∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四边形OMEN为矩形；
∵OM2+ME2=OE2（勾股定理），
又∵ME2=ON2
∴OM2+ON2=OE2；
∵OM2=DO2-DM2=4-（
）2；
又∵ON2=OA2-AN2=4-（
）2，
∴OM2+ON2=4-（
）2+4-（
）2=1，
∴AB2+CD2=28；
（2）AE2+CE2+EB2+ED2=（AE+BE）2-2AE•BE+（CE+DE）2-2CE•DE=AB2+CD2-4AE•EB=28-4AE•EB．
如图，过点E作直径PH，则EP•EH=EA•EB，
∵EP•EH=（2-OE）（2+OE）=1×3=3
∴AE2+CE2+EB2+ED2=28-4×3=16，即AE2+CE2+EB2+ED2为定值16；
（3）如图，连接AC、BC、AD、BD．
AC2+BC2+BD2+AD2
=2（AE2+BE2）+2（DE2+EC2）
=2×16
=32
即AC2+BC2+BD2+AD2为定值32．
解：（1）连接AO，DO，作OM⊥CD于点M，作ON⊥AB于点N，∵DC⊥AB，OM⊥DC，ON⊥AB，
∴四边形OMEN为矩形；
∵OM2+ME2=OE2（勾股定理），
又∵ME2=ON2
∴OM2+ON2=OE2；
∵OM2=DO2-DM2=4-（
| DC |
| 2 |
又∵ON2=OA2-AN2=4-（
| AB |
| 2 |
∴OM2+ON2=4-（
| AB |
| 2 |
| DC |
| 2 |
∴AB2+CD2=28；
（2）AE2+CE2+EB2+ED2=（AE+BE）2-2AE•BE+（CE+DE）2-2CE•DE=AB2+CD2-4AE•EB=28-4AE•EB．
如图，过点E作直径PH，则EP•EH=EA•EB，
∵EP•EH=（2-OE）（2+OE）=1×3=3
∴AE2+CE2+EB2+ED2=28-4×3=16，即AE2+CE2+EB2+ED2为定值16；
（3）如图，连接AC、BC、AD、BD．
AC2+BC2+BD2+AD2
=2（AE2+BE2）+2（DE2+EC2）
=2×16
=32
即AC2+BC2+BD2+AD2为定值32．
点评：本题主要考查了的是垂径定理和勾股定理．解得该题的关键是通过作辅助线构建矩形OMEN，利用勾股定理、矩形的性质以及垂径定理将 AB2+CD2联系在同一个等式中，然后根据代数知识求解．
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