Question

【题目】已知，如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CD⊥AD于F，且BC=DC．

（1）BE与DF是否相等？请说明理由；

（2）若DF=1，AD=3，求AB的长；

（3）若△ABC的面积是23，△ADC面积是18，直接写出△BEC的面积．

Answer 1

【答案】（1）相等，理由见解析；（2）5；（3）2.5.

【解析】

（1）根据角平分线的性质可知，CF=CE，再结合已知条件利用HL证明Rt△BCE与Rt△DCF全等，最后利用全等三角形的性质解答即可；

（2）根据已知条件证明Rt△ACE≌Rt△ACF，所以AF=AE，因此AB=AE+BE=AF+BE，即可求出答案；

（3）根据（1）（2）可知，S△BCE=S△DCF，S△ACE=S△ACF，所以,即可求出答案．

解：（1）相等，

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

∴CE=CF，

在Rt△BCE与Rt△DCF中，，

∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），

∴BE=DF；

（2）∵Rt△BCE≌Rt△DCF，

∴DF=EB，CE=CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，

在Rt△ACE与Rt△ACF中，，

∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），

∴AF=AE，

∵DF=1，AD=3，

∴AB=AF+BE=AD+DF+BE=5；

（3）∵Rt△BCE≌Rt△DCF，

∴S△BCE=S△DCF，

∵△ABC的面积是23，△ADC面积是18，

∴△BEC的面积=．