Question

如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-

2

3

x+4分别交x、y轴于A、B两点，将△AOB沿直线y=kx-

9

4

k（k＞0）折叠，使B点落在y轴的C点处．

（1）求C点坐标；
（2）若点D沿射线BA运动，连接OD，当△CDB与△CDO面积相等时，求直线OD的解析式；
（3）在（2）的条件下，点D在第一象限，沿x轴平移直线OD，分别交x，y轴于点E，F，在平面直角坐标系中，是否存在点M（m，3）和点P，使四边形EFMP为正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）求出点A、B的坐标，设直线y=kx-

9

4

k交x轴、y轴于点E、F，求出点E、F的坐标，设BC与直线y=kx-

9

4

k交于点G，根据折叠的性质求出点G的横坐标，代入直线求出点G的纵坐标，再根据∠OBC和∠OFE的正切值相等列方程求解得到点G的坐标，然后求解即可；
（2）分①点D在第一象限时，根据等底等高的三角形的面积相等可知点D的纵坐标与点C的纵坐标相等，然后代入直线解析式求出横坐标，从而得到点D的坐标，再写出直线解析式即可；②点D在第二象限时，求出AC的长，再设点D到y轴的距离为a，根据S_△CDB=S_△ACD+S_△ABC列式整理，再根据△CDB与△CDO面积相等列出方程求出a，然后求出点D的坐标，再写出直线OD的解析式即可；
（3）根据平行直线的解析式的k值相等设平移后的直线的解析式为y=2x+b，然后用b表示出OE、OF，过点M作MN⊥y轴于N，过点P作PQ⊥x轴于Q，△MNF、△FOE、△EQP是全等三角形，根据根据全等三角形对应角相等可得MN=OF=EQ，NF=OE=PQ，然后根据点M的纵坐标为3列出方程求出b值，再求出OE、OF，然后求出OQ、PQ，写出点P的坐标即可．

解答：解：（1）令x=0，则y=4，
令y=0，则-

2

3

x+4=0，
解得x=6，
所以，A（0，4），B（6，0），
设直线y=kx-

9

4

k交x轴、y轴于点E、F，
则E（

9

4

，0），F（0，-

9

4

k），
设BC与直线y=kx-

9

4

k交于点G，
则点G的横坐标为

0+6

2

=3，
代入直线y=-

2

3

x+4得，点G的纵坐标y=

3

4

k，
∵∠OBC+∠OCB=∠OFE+∠OCB=90°，
∴∠OBC=∠OFE，
∵tan∠OBC=

3 4 k

6-3

=

1

4

k，tan∠OFE=

OE

OF

=

9 4

9 4 k

=

1

k

，
∴

1

4

k=

1

k

，
解得k=2，k=-2（舍去），
∴点G的坐标为（3，

3

2

），
∵点B、C关于 点G对称，
∴点C的坐标为（0，3）；

（2）①点D在第一象限时，
∵△CDB与△CDO面积相等，
∴CD∥OB，
∴点D的纵坐标为3，
当y=3时，-

2

3

×x+4=3，
解得x=

3

2

，
∴点D的坐标为（

3

2

，3），
∴直线OD的解析式为y=2x；
②点D在第二象限时，AC=4-3=1，
设点D到y轴的距离为a，
则S_△CDB=S_△ACD+S_△ABC
=

1

2

×1•a+

1

2

×1×6
=

1

2

a+3，
∵△CDB与△CDO面积相等，
∴

1

2

a+3=

1

2

×3a，
解得a=3，
∴点D的横坐标为-3，
当x=-3时，y=-

2

3

×（-3）+4=2+4=6，
∴点D的坐标为（-3，6），
∴直线OD的解析式为y=-2x；

（3）设OD平移后的解析式为y=2x+b，
令y=0，则2x+b=0，
解得x=-

b

2

，
令x=0，则y=b，
所以，OE=

b

2

，OF=b，
过点M作MN⊥y轴于N，过点P作PQ⊥x轴于Q，
∵四边形EFMP是正方形，
∴易证△MNF≌△FOE≌△EQP，
∴MN=OF=EQ，NF=OE=PQ，
∵M（m，3），
∴ON=b+

b

2

=3，
解得b=2，
∴OE=1，OF=2，
∴OQ=OE+QE=1+2=3，
∴点M（-2，3），点P（-3，1），
故，存在点M（-2，3）和点P（-3，1），使四边形EFMP为正方形．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了直线与坐标轴的交点的求法，轴对称的性质，锐角三角函数的定义，三角形的面积，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于（1）根据等角的正切列出方程，（2）根据点D的位置分情况讨论，（3）作辅助线构造出全等三角形并根据点M的纵坐标列出方程．