Question

对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径，那么称图形A被这个圆所覆盖．例如，图中的三角形被一个圆所覆盖．回答问题：
（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？
（2）边长为1cm的正三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？
（3）半径为1cm的圆被边长为a的正方形所覆盖，a的最小值是多少？
（4）半径为1cm的圆被边长为a的正三角形所覆盖，a的最小值是多少？

Answer 1

分析：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，求圆的半径，实质上时求边长为1的正方形外接圆的半径，根据题意画出图形，连接正方形外接圆的圆心与两端点的连线，求出正方形一条边所对圆心角的度数，利用勾股定理即可求出r的值；
（2）边长为1cm的正三角形被一个半径为r的圆所覆盖，求r的最小值即求此正三角形外接圆的半径，根据题意画出图形，作出辅助线，垂径定理及锐角三角函数的定义即可解答；
（3）半径为1cm的圆被边长为a的正方形所覆盖，求a的最小值，实际上是求圆的外接正方形的边长，根据题意画出图形，根据勾股定理及正方形的性质即可求解；
（4）半径为1cm的圆被边长为a的正三角形所覆盖，a的最小值，实际上是求边长为1的圆的外切正三角形的面积，根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义即可求解．

解答：解：（1）如图（1）所示，
连接OB、OC，则∠BOC=

360°

4

=90°，
∵OB=OC=r，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴OB²+OC²=BC²，即r²+r²=1²，
∴r=

2

2

；

（2）如图（2）所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，则AD=

1

2

AB=

1

2

，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=2∠ACB=2×60°=120°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOD=60°，∠OAC=30°，
∴OA=r=

AD

cos∠OAD

=

1 2

3 2

=

3

3

；

（3）如图（3）所示，连接OA、OE，则OE=r，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE=∠AOE=45°，
∴OE=AE=1，
∴AB=2；

（4）如图（4），连接OB，OD，
∵O是切点，
∴OD⊥BC，OD=1，BD=

a

2

，
∵O是△ABC的内心，
∴∠OBD=30°，
∴OD=BD•tan∠OBD=

a

2

•

3

3

=1，
∴a=2

3

．

故答案为：

2

2

，

3

3

，2，2

3

．

点评：本题考查的是正多边形和圆，解答此类题目的关键是画出图形，利用数形结合求解．