题目内容
阅读下面材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖．
对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖．
例如：图甲中的三角形被一个圆所覆盖，图乙中的四边形被两个圆所覆盖．
回答下列问题：
（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是
（2）边长为1cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是
（3）长为2cm，宽为1cm的矩形被两个半径都为r的圆所覆盖，r的最小值是
分析：（1）边长为1的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，则圆的最小直径等于正方形的对角线，这样可以求出半径的最小值．
（2）作出图形，连接OB，并过点O作BC的垂线，得到直角三角形，在直角三角形中用三角函数求出半径的最小值．
（3）长为2cm，宽为1cm的矩形被两个等圆覆盖，两个圆内覆盖的部分分别是两个正方形，且这两个正方形分别内接于两圆时半径最小，在直角三角形中求出最小的半径．
（2）作出图形，连接OB，并过点O作BC的垂线，得到直角三角形，在直角三角形中用三角函数求出半径的最小值．
（3）长为2cm，宽为1cm的矩形被两个等圆覆盖，两个圆内覆盖的部分分别是两个正方形，且这两个正方形分别内接于两圆时半径最小，在直角三角形中求出最小的半径．
解答：解：（1）因为正方形的边长为1，所以对角线为
，最小圆的直径为
，因此r的最小值是
．
（2）如图：正三角形ABC的边长为1，当△ABC内接于⊙O时，圆的半径最小．
连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，则在直角△BOD中，BD=
，∠OBD=30°，
cos30°=
，得：OB=
=
=
．
因此r的最小值是
．
（3）如图：ABCD被⊙O和⊙M覆盖，两圆的公共弦为EF，
AB=1，AD=2，如上图所示时，两圆的半径最小．
连接OA，OE，则△AOE是等腰直角三角形，AE=1，所以OA=
．
因此r的最小值是
．
故答案分别是：
，
，
．
| 2 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（2）如图：正三角形ABC的边长为1，当△ABC内接于⊙O时，圆的半径最小．
连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，则在直角△BOD中，BD=
| 1 |
| 2 |
cos30°=
| BD |
| OB |
| BD |
| cos30° |
| ||||
|
| ||
| 3 |
因此r的最小值是
| ||
| 3 |
（3）如图：ABCD被⊙O和⊙M覆盖，两圆的公共弦为EF，
AB=1，AD=2，如上图所示时，两圆的半径最小．
连接OA，OE，则△AOE是等腰直角三角形，AE=1，所以OA=
| ||
| 2 |
因此r的最小值是
| ||
| 2 |
故答案分别是：
| ||
| 2 |
| ||
| 3 |
| ||
| 2 |
点评：本题考查的是正多边形和圆，（1）利用圆的内接正方形进行计算求出半径的最小值．（2）利用圆的内接正三角形进行计算求出半径的最小值．（3）把矩形分成两个正方形，这两个正方形分别被两等圆覆盖，当这两个正方形分别是这两个圆的内接正方形时半径最小，利用直角三角形求出最小半径．
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