Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．

（1）求证：点E是弧BD的中点；

（2）求证：CD是⊙O的切线；

（3）若tan∠ADG＝，⊙O的半径为5，求DF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）连接OD，如图，根据平行线的性质得∠BOC＝∠A，∠DOC＝∠ODA，由∠A＝∠ODA，得出∠BOC＝∠DOC，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得出结论；

（2）先证明△OCD≌△OCB得到∠ODC＝∠OBC＝90°，然后根据切线的判定方法得到结论；

（3）在Rt△ADG中用勾股定理得到OD2＝DG2+OG2进行求解．

（1）证明：连接OD，如图，

∵AD∥OC，

∴∠BOC＝∠A，∠DOC＝∠ODA，

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ODA，

∴∠BOC＝∠DOC，

∴，

即点E是弧BD的中点；

（2）证明：在△OCD和△OCB中，，

∴△OCD≌△OCB（SAS），

∴∠ODC＝∠OBC＝90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（3）解：在△ADG中，tan∠ADG＝＝，

设DG＝4x，AG＝3x；

又∵⊙O的半径为5，

∴OG＝5﹣3x；

∵OD2＝DG2+OG2，

∴52＝（4x）2+（5﹣3x）2；

∴x1＝，x2＝0；（舍去）

∴DF＝2DG＝2×4x＝8x＝8×＝．