Question

【题目】如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若抛物线与直线AB的另一个交点为F，点C是线段BF的中点，过点C作BF的垂线交抛物线于点P，Q，求线段PQ的长度；

（3）在（2）的条件下，点M是直线AB上一点，点N是线段PQ的中点，若PQ＝2MN，直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x+1；（2）5；（3）M（，﹣）或（﹣，）

【解析】

（1）先求出点B坐标，再将点D，B代入抛物线的顶点式即可；

（2）如图1，过点C作CH⊥y轴于点H，先求出点F的坐标，点C的坐标，再求出直线CM的解析式，最后可求出两个交点及交点间的距离；

（3）设M（m，﹣m+1），如图2，取PQ的中点N，连接MN，证点P，M，Q同在以PQ为直径的圆上，所以∠PMQ＝90°，利用勾股定理即可求出点M的坐标．

解：（1）在y＝﹣x+1中，

当x＝0时，y＝1，

∴B（0，1），

∵抛物线y＝ax2+bx+c过点B，并且顶点D的坐标为（﹣2，﹣1），

∴可设抛物线解析式为y＝a（x+2）2﹣1，

将点B（0，1）代入，

得，a＝，

∴抛物线的解析式为：y＝（x+2）2﹣1＝x2+2x+1；

（2）联立，

解得，或，

∴F（﹣5，），

∵点C是BF的中点，

∴xC＝＝﹣，yC＝＝，

∴C（﹣，），

如图1，过点C作CH⊥y轴于点H，

则∠HCB+∠CBH＝90°，

又∵∠MCH+∠HCB＝90°，

∴∠CBH＝∠MCH，

又∠CHB＝∠MHC＝90°，

∴△CHB∽△MHC，

∴＝，

即＝，

解得，HM＝5，

∴OM＝OH+MH＝+5＝，

∴M（0，），

设直线CM的解析式为y＝kx+，

将C（﹣，）代入，

得，k＝2，

∴yCM＝2x+，

联立2x+＝x2+2x+1，

解得，x1＝，x2＝﹣，

∴P（，5+），Q（﹣，﹣5+），

∴PQ＝＝5；

（3）∵点M在直线AB上，

∴设M（m，﹣m+1），

如图2，取PQ的中点N，连接MN，

∵PQ＝2MN，

∴NM＝NP＝NQ，

∴点P，M，Q同在以PQ为直径的圆上，

∴∠PMQ＝90°，

∴MP2+MQ2＝PQ2，

∴+ ＝（5）2，

解得，m1＝，m2＝﹣，

∴M（，﹣）或（﹣，）．