Question

如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：
（1）AG=

1

2

AD；
（2）DF=EF；
（3）S_△DGF=S_△ADG+S_△ECF．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，
∴AG=

1

2

AD；

（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，
∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH=AD，
∵AD=CE，
∴DH=CE，
在△DHF和△ECF中，

∠FDH=∠E ∠DFH=∠EFC DH=CE

，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DF=EF；

（3）∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，
∴AG=GH，
∴S_△ADG=S_△HDG，
∵△DHF≌△ECF，
∴S_△DHF=S_△ECF，
∴S_△DGF=S_△DGH+S_△DHF=S_△ADG+S_△ECF．