Question

如图所示，已知⊙O的外切△ABC，AB，BC，AC边上的切点为M，D，N，MN与直线DO交于E，连接AE并延长交BC于F，求证：BF=CF．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：若证F是BC的中点，因为ED与BC垂直，因此考虑将MN绕E点旋转到与BC平行的位置，即M′N′，这时只要E点是M′N′的中点，结论即可得出．

解答：证明：过E点作M′N′∥BC，交AB于M′，交AC于N′，连结OM，ON，OM′，ON′．
∵⊙O是△ABC的内切圆，且D，M，N为切点，
∴∠OMN′=∠ODB=90°．
∵∠OEN′=∠ODB，
∴∠OMN′=∠OEN′，
∴O，E，M，N′四点共圆，所以
∠OME=∠ON′E．
同理，O，E，M′，N四点共圆，
∴∠ONE=∠OM′E．
∵OM=ON，
∴∠OME=∠ONE，∠ON′E=∠OM′E，
OM′=ON′，EM′=EN′．
∵M′N′∥BC，
∴BF=FC．

点评：此题主要考查了切线的性质与四点共圆的性质与判定，得出O，E，M，N′四点共圆是解题关键．