Question

【题目】问题背景：如图，四边形中，，，，，，为边上一动点，连接、．

问题探究

（1）如图1，若，则的长为__________．

（2）如图2，请求出周长的最小值；

（3）如图3，过点作于点，过点分别作于，于点，连接

①是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出面积的最大值，若不存在，请说明理由；

②请直接写出面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）18；（3）①；②

【解析】

（1）过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F，利用等腰直角三角形ABF求得AF和BF的长，再利用Rt△PBF求得PF的长，进而得解；

（2）作点B关于直线AD的对称点B'，连接B'C，交AD于点P'，连接BP'，根据两点之间线段最短可知当B'，P，C三点共线时，周长取得最小值，再利用勾股定理计算即可；

（3）①②根据，可得点E、M、P、N在以PE为直径的圆上，利用圆周角定理和直角三角形两锐角互余可证得△MPN∽△CPB，进而可知当MN最大时，面积的最大，当MN最小时，面积的最小，由圆的性质可知当MN为直径时MN最大，当MN⊥PE时，MN最小，最后利用勾股定理、等积法和相似三角形的性质求解即可．

解：（1）如图，过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F，

∵AD∥BC，∠ABC＝45°，

∴∠FAB＝∠ABC＝45°，

∵BF⊥AD，

∴在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，

∵

∴AF＝BF＝AB＝，

∵AD∥BC，∠PBC＝30°，

∴∠FPB＝∠PBC＝30°，

∵在Rt△PBF中，tan∠FPB＝

∴tan30°＝，

∴

∴；

（2）如图，作点B关于直线AD的对称点B'，连接B'C，交AD于点P'，连接BP'，

∵点B与点B'关于直线AD对称，

∴AD垂直平分BB'，BF＝B'F＝3，

∴P'B＝P'B'，BB'＝6，

∴当点P在点P'时，PB+PC取得最小值，最小值为B'C的长，此时△BPC的周长最小，

在Rt△BB'C中，B'C＝，

∴△BPC的周长最小值为B'C+BC＝10+8＝18；

（3）①∵，，

∴∠EMP＝∠ENP＝90°，

∴点E、M、P、N在以PE为直径的圆上，如图所示，

则∠PMN＝∠PEN，

∵，，

∴∠PEC＝∠ENC＝90°，

∴∠PEN+∠NEC ＝∠NEC+∠PCB＝90°，

∴∠PEN ＝∠PCB，

∴∠PMN＝∠PCB，

又∵∠MPN＝∠CPB，

∴△MPN∽△CPB，

∴

∵，

∴PE＝3，

∴

∴

∴当MN取得最大值时，的面积取得最大值，

当MN＝PE＝3时，解得

即当MN＝PE＝3时，的面积最大，最大值为；

②由①可知，，

∴当MN取得最小值时，的面积取得最小值，

由垂径定理可知，当MN⊥PE时，MN取得最小值，

如图，当MN⊥PE时，则弧ME＝弧NE

∴∠MPE＝∠NPE，

∵，

∴∠PEB＝∠PEC＝90°，

∴△PEB≌△PEC，

∴EB＝EC＝BC＝4，

在Rt△BEP中，BP＝,

∵

∴

∴,

在Rt△PME中，PM＝

∵

∴

∴,

∴,

∴,

解得，

∴面积的最小值为．