Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8．动点E，F同时分别从点A，B出发，分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动，连接EF，以EF为直径作⊙O交射线BD于点M，设运动的时间为t．

（1）当点E在线段AD上时，用关于t的代数式表示DE，DM．

（2）在整个运动过程中，

①连结CM，当t为何值时，△CDM为等腰三角形．

②圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，求t的取值范围，并直接写出在此范围内圆心运动的路径长．

Answer 1

【答案】（1）（1）ED＝8﹣t，MD＝．（2）①t＝或t＝或t＝；②0≤t≤，圆心运动的路径长为

【解析】

（1）在Rt△ABD中，依据勾股定理可求得BD的长，然后依据MD=EDcos∠MDE，cos∠MDE=cos∠ADB=，由此即可解决问题．

（2）①可分为点E在AD上，点E在AD的延长线上画出图形，然后再依据MC=MD，CM=CD、DM=DC三种情况求解即可；

②当t=0时，圆心O在AB边上．当圆心O在CD边上时，过点E作EH∥CD交BD的延长线与点H．先求得DH的长，然后依据平行线分线段成比例定理可得到DF=DH，然后依据DF=DH列出关于t的方程，从而可求得t的值，故此可得到t的取值范围．

解：（1）如图1所示：连接ME．

∵AE=t，AD=8，

∴ED=AD-AE=8-t．

∵EF为⊙O的直径，

∴∠EMF=90°．

∴∠EMD=90°．

∴MD=EDcos∠MDE=．

（2）①a、如图2所示：连接MC．

当DM=CD=6时，=6，解得t=；

b、如图3所示：当MC=MD时，连接MC，过点M作MN⊥CD，垂足为N．

∵MC=MD，MN⊥CD，

∴DN=NC．

∵MN⊥CD，BC⊥CD，

∴BC∥MN．

∴M为BD的中点．

∴MD=5，即=5，解得t=；

c、如图4所示：CM=CD时，过点C作CG⊥DM．

∵CM=CD，CG⊥MD，

∴GD=MD=．

∵，

∴DG=CD=．

∴=．

解得：t=-1（舍去）．

d、如图5所示：当CD=DM时，连接EM．

∵AE=t，AD=8，

∴DE=t-8．

∵EF为⊙O的直径，

∴EM⊥DM．

∴DM=EDcos∠EDM=．

∴=6，解得：t=．

综上所述，当t=或t=或t=时，△DCM为等腰三角形．

②当t=0时，圆心O在AB边上．

如图6所示：当圆心O在CD边上时，过点E作EH∥CD交BD的延长线与点H．

∵HE∥CD，OF=OE，

∴DF=DH．

∵DH==，DF=10-t，

∴=10-t．

解得：t=．

综上所述，在整个运动过程中圆心O处在矩形ABCD内（包括边界）时，t的取值范围为0≤t≤．

此时点O的运动路径为OO1的长度，如图：

过点O作OM⊥AB

当t=时，DE=-8=

∵EH∥CD，AB∥CD

∴EH∥AB

∴△DEH∽△DAB

∴，即，解得EH=

∴OD=EH=

由题意可知四边形ADOK是矩形

∴AK= OD =，OK=AD=8

∴O1K= O1A- AK=

在Rt△OKO1中，OO1=

∴圆心运动的路径长为．